数が並べられたら分かるmod＆群＆環

http://d.hatena.ne.jp/snow-bell/20081016/1224169091

以前こんな事を書いた事がありました
最近になってやっと理解出来たのでいい加減ブログに書きますw
長くなりそうなのでまずmodについてから書いて行きます

  modって簡単に言うと商(割り算)のあまり

なんですよね
ちょっと小難しく考えていたんですけど小学生でも分かるような
簡単な事なんです　考え方的には・・・
例えばmod6の場合で数字をとりあえず30くらいまでならべます

余り0   余り1   余り2   余り3   余り4   余り5

  0       1       2       3       4       5
  6       7       8       9       10      11
  12      13      14      15      16      17
  18      19      20      21      22      23
  24      25      26      27      28      29
  30

見た感じ結構美しいですよね
さて・・・コレで何が分かるの？？　という事なんですが
ココから発見出来る事が多いので1つ1つ書いて行きます

簡単に割り算のあまりが分かる

コレは30しかないので電卓とかがなくても計算くらいは
出来ると思うのですがこの数を10000桁だったり1000000桁
まで並べてある表があったら電卓がなくてもすぐに答えが
分かっちゃいますよね☆
更にこの話を発展させちゃうと

合同式が分かっちゃう

$a \eq b$ 　または　 $a \eq b$ (mod n)
コレが合同式でしたよね！　上の式を見ると
$13 \eq 19$ (mod 6)
$16 \eq 10$ (mod 6)
$27 \eq 3$ (mod 6)
こんな事が言えちゃいます　コレは何を表すかと言うと　
$13 \eq 19$ (mod 6)　→13と19は6で割った時に余剰が等しい
$16 \eq 10$ (mod 6)　→16と10は6で割った時に余剰が等しい
$27 \eq 3$ (mod 6)　→27と3は6で割った時に余剰が等しい
今示した数字全てmodが同じグループの中に属していますよね？

13と19はmod1のグループ　
16と10はmod4のグループ
27と 3はmod3のグループ
このグループ分けがいわゆる群論の考え方です

群論は個別の事象によって様々なので詳しく解説も出来ないし
きちんと理解は出来ていない部分も多々ありますが今回は
mod6という条件でグループ(群)に分かれます
更にこの群の中をよく見てみると群の中で数字が一定の規則性をもって
並んでいるのがお分かりになりますでしょうか？

余り 0  0  6 12 18 24 30
余り 1  1  7 13 19 25 
余り 2  2  8 14 20 26 
余り 3  3  9 15 21 27 
余り 4  4 10 16 22 28 
余り 5  5 11 17 23 29
これがいわゆる環論という考え方です

環論についても群論と同様個別の事象によって様々ですし私自身
きちんと理解は出来てない部分も多々ありますが
modのどのグループの数字を見ても分かるように一定の間隔で
数字が増減しています
例えばmod 0のグループのどれかの数字に5を足したらそれは
mod 5のグループのいづれかの数字になるはずです
またmod 0の数字のどれかから4を引いた場合は今度は
mod 0(スタート) → mod 5 → mod 4 → mod 3 → mod 2(ゴール)
となりそれはmod 2の数字のいづれかの数字になるはずです
数字ってとても美しく綺麗ですよね！
最後に-1の時などマイナスの数字も並べておきたいと思います

余り0   余り1   余り2   余り3   余り4   余り5

 -30     -29     -28     -27     -26     -25
 -24     -23     -22     -21     -20     -19
 -18     -17     -16     -15     -14     -13  
 -12     -11     -10     -9      -8      -7
 -6      -5      -4      -3      -2      -1
  0       1       2       3       4       5
  6       7       8       9       10      11
  12      13      14      15      16      17
  18      19      20      21      22      23
  24      25      26      27      28      29
  30

正直私マイナスの数字のほうに関してはよく自信がなくなるんです
マイナス1がどこに分類されるのか悩む事が多いです
今回ももちろんそうでした
なので(主に自分向けに)メモがてら
問題1
任意の数xが x mod 6 = 5の場合
(x + 6) mod 6　の時xのあまりはいくつか
答え　5
mod 6の場合6はあまり0となりカウントはされないので
最初のあまり5をそのまま適用して答えが5になる
問題2
任意の数がx mod 10 = 5です
(x + 10) mod 10　の時のx余りはいくつか
という問題は出来たのだが
問題3
問題2の条件である整数yがあります
(x + 10 * y) mod 10 の時のyの余りはいくつか
私はここで単純に5yとか思ってたんですけど実際に数を代入して
解を得ました
xを10+5の15に設定してyを3に設定して計算しました
(15 + 10 * 3) mod 10　　→　75を10で割ると7余り5
よって余りは5
ココで分かった事はこの場合任意の整数yは例え-1であったとしても
この式は全ての数字において成立するので仮に任意の数字が新たに
追加されたとしても余りが変化する事はない
当たり前の事みたいなのに気付かない事も多いのです